Números descomunales y desorbitados

El matemático español Eduardo Sáenz de Cabezón brindó, en la Sala Roberto Arlt del Pabellón II, una divertida charla sobre cómo expresar números muy grandes. Logró cautivar no sólo a los matemáticos presentes, sino también a los no especialistas.

“Sobre números grandes, descomunales y desorbitados” fue el título de la charla que dio en la Facultad, el martes 18 de julio, el español Eduardo Sáenz de Cabezón, que tiene un doctorado en matemática y ganó en 2013 la edición española del concurso internacional de monólogos científicos conocido como FameLab Contest. También es el creador del Big Van Theory, un grupo de científicos que comunican temas de su especialidad, de manera divertida, en colegios y museos.

La Sala Roberto Arlt estaba desbordada de jóvenes, en su mayoría estudiantes de matemática. “No esperaba que viniera tanta gente. Voy a dar una charla de matemáticas, espero que hayan venido con aguante”, comenzó diciendo.

Les pidió a dos estudiantes que escribieran en el pizarrón, en diez segundos y con notación matemática correcta y aceptada, el número más grande que hubieran imaginado en sus vidas. Uno dibujó el símbolo de infinito; el otro, un 11 con siete signos de admiración (notación factorial).

El objetivo era explicar cómo escribir números grandes de una forma fácil, y qué utilidad y relación tienen esos números con la evolución del pensamiento humano.

Así, comenzó con la explicación de la notación exponencial, que consiste en multiplicar varias veces un número por sí mismo. Si se multiplica un número n por 10 elevado a la potencia de 5, es decir, n x 1 seguido de cinco ceros, se tiene una forma rápida de expresar un número de seis dígitos. “Claro, si es tu sueldo…, no es lo mismo cobrar 100.000 que 900.000”, afirmó, (risas) y prosiguió: “Pero, esto vale para grandes números”.

Después mostró un 9 elevado a la 9 elevado a la 9, es lo que se conoce como “torre de exponentes”. En este caso importa el orden en que se realizan las operaciones, y hay dos posibilidades: 9 elevado a 9, y el resultado elevarlo a 9. O elevar el número 9 al resultado de elevar 9 a 9. Los resultados serán diferentes.

La primera secuencia de operaciones da 78 dígitos. En cambio, la segunda da alrededor de 370 millones de dígitos. A cada paso, Sáenz de Cabezón, con una gran capacidad histriónica, hacía comentarios graciosos, cosechando ruidosas carcajadas.

La idea era ir haciendo un poco de historia sobre el desarrollo del pensamiento matemático. Mostró la imagen de Arquímedes de Siracusa (siglo III antes de Cristo). “Uno de los grandes –acotó–. Yo tengo cierta predilección por él. Está Pitágoras, pero está rodeado de un halo tan místico… En cambio, Arquímedes tenía los pies en la tierra, y le cortaron la cabeza cuando estaba dibujando en la arena”.

Calcular granos de arena

En su libro El contador de arena, Arquímedes intentó responder a la pregunta acerca de cuántos granos de arena habría en el cosmos si éste estuviera lleno de ese material. “Arquímedes no tenía vida sexual, no había televisión ni internet, tenía tiempo para responder este tipo de preguntas”, afirmó, y luego de las risas, agregó: “En su época, se usaban los números romanos (risas, nuevamente). ¿Te imaginas 9 elevado a 9 elevado a 9, 370 millones de dígitos, escritos con números romanos?” (risas). “¡Y en piedra!” (más risas).

La notación que inventó Arquímedes es lo que hoy en día conocemos como los exponenciales, que son útiles para expresar cantidades muy grandes. “Se estima que el número de estrellas del universo observable es 10 elevado a 23, 1 con 23 ceros”, señaló.”

Por su parte, el número de átomos del universo observable es 10 elevado a 85. “Es un número grande, no está mal si es tu sueldo, aunque sea la moneda que queráis, por mucho que se devalúe”.

Otro número enorme es el de las posibles formas de ordenar los volúmenes de la Biblioteca de Babel, la del relato de Jorge Luis Borges. “No es ya el número de volúmenes sino el número de formas de ordenarlos. Son ganas de joder al bibliotecario, nomás” (risas).

Luego mencionó al campeón mundial de ajedrez Gari Kasparov, que en 1997 fue derrotado ante la computadora Deep Blue. Y se refirió al intento de los científicos por crear computadoras que puedan competir con las personas en juegos de pensar, como el ajedrez. “El árbol de jugadas del ajedrez es del orden de 10 elevado a 150; los ordenadores ya alcanzan esa cantidad, pero hoy en día no hay ninguno que pueda competir con garantías con un jugador medio delgo”. El go es un juego oriental cuyo orden de complejidad es de 10 elevado a 365.

Números a los gritos

Tal vez el tramo más gracioso de la charla fue el de los factoriales, que se representan con un signo de admiración. “Yo vengo de La Rioja (España), y cuando vemos esto decimos: ‘¡cinco!’ (gritando). ¡Cinco! es 5 x 4, x 3, x 2” (risas).

Y continuó: “Aquí es cuando uno ve por primera vez la recursividad, y uno siente mariposas en el estómago” (risas). Las operaciones son recursivas, por ejemplo, multiplicar es sumar varias veces; elevar un número a un exponente es multiplicar varias veces. “La recursividad es completamente necesaria para lo que es computable”, remarcó.

“Si yo tuviera que tatuarme, me tatuaría en un brazo ‘computabilidad’ y, en el otro, ‘recursividad’”, destacó, mostrando dónde imprimiría el tatuaje.

En un momento, dirigiéndose a los matemáticos presentes, Sáenz de Cabezón hizo un descargo (característico de un científico cuando hace divulgación): “Os dais cuenta de que estoy dando una visión muy suave, simplificada, que contiene todos los conceptos, pero suave”.

En su interés por historiar la búsqueda de los matemáticos por expresar números muy grandes, se refirió a los polígonos de Steinhaus Moser, que suponen que un número metido en un triángulo quiere decir ese número elevado a sí mismo. Un n en un cuadrado, significa n en ese número de triángulos, es decir que 3 en un cuadrado es 3 metido en tres triángulos. Asimismo, n en un pentágono es n en ese número de cuadrados. Y n dentro de un polígono de m lados es n dentro de n polígonos de m menos 1 lado.

Haciendo los cálculos, llegó a un valor realmente grande. “El número es inmenso, y es computable, porque es recursivo. Un ordenador con suficientes recursos de tiempo y memoria podría calcularlo”, precisó, y continuó: “Vas a una discoteca y le dices a una chica: ‘te quiero un 7 en un pentágono’. Al principio ella dice ‘¿qué?’ y te pones a explicarle. Si aguanta hasta la mitad, merece la pena. Si no, búscate otro friki como tú. Es un test” (risas).

Finalmente, habló de los números no computables, e hizo referencia al matemático inglés Alan Turing, a su azarosa vida y a sus principales contribuciones. “Antes de que existieran los ordenadores, Turing dio una definición teórica de los límites de la computabilidad, y lo demostró. Existe un teorema que dice que cualquier ordenador tiene límites, hay cosas que nunca podrá decidir”, dijo, y destacó: “Para mí ésta es la mayor aportación de Turing”.

Al ejecutar un programa, puede suceder que éste termine después de un número finito de pasos, o puede ser que nunca se detenga. Turing demostró que eso que se llama el problema de parada, no es computable. “Aquí me tenéis que creer, o leer el artículo de Turing”, advirtió.

Lo que afirmó Turing es que no existe una manera automática computable de saber si todos los programas del mundo terminan. No obstante, no negó que exista la prueba para programas concretos.

Gracias a los límites que Turing estableció para la computabilidad, otro matemático definió una sucesión de números no computables. Fue el húngaro Tibor Rado, que denominó su problema como el del “castor laborioso”. Y planteó que hay números que una computadora, por más memoria que tenga, nunca será capaz de computar.

Al final de la charla, Sáenz de Cabezón mostró los objetivos que se había planteado, y pidió a su audiencia: “Quisiera que, si veis que cada uno de ellos se cumplió, bueno, aplaudáis. Si conseguimos que haya aplausos al menos en tres de los objetivos, a mí me pagan. La verdad es que no me pagan de ninguna forma, pero me traen otra vez, o me voy con buen rollo a casa”.

Los objetivos eran: explicar la forma de ganar un concurso de números grandes; explicar la importancia de la notación en matemáticas; dar algunas ideas de recursividad no primitiva y computabilidad; hacer una historia de la computación y, por último, despertar la curiosidad. Recibió fuertes aplausos ante cada objetivo, pero muchos más en el último. Misión cumplida.