Informe Maldacena

Un cuento de hadas

Las estrategias habituales para abordar los conceptos de la física de partículas consisten en recorrer el largo camino que parte del mundo de la experiencia ordinaria y llega hasta las nociones de moléculas, núcleos atómicos, nucleones, etc., usualmente siguiendo el orden histórico de los descubrimientos. Sin embargo, aquí iremos por una vía algo diferente: nos lanzaremos en paracaídas hacia la descripción actual y, ciertamente, con reglas muy sencillas.

Nuestra concepción de la física de partículas es como el cuento de la Bella y la Bestia. La Bella representa las fuerzas de la naturaleza: el electromagnetismo, la fuerza débil, la fuerza fuerte y la gravedad, que están basadas en un principio de simetría llamado simetría de medida (gauge simmetry, en inglés). Pero además necesitamos a la Bestia, que es el llamado bosón de Higgs, que contiene muchos de los aspectos más misteriosos y extraños (algunos dirían “feos”) de la física de partículas. Ambos componentes son necesarios para describir la Naturaleza: todos somos hijos del matrimonio entre la Bella y la Bestia.

Estos son nuestros personajes principales: el principio de simetría de medida y el mecanismo de Higgs. El rol de las simetrías de medida y la sorprendente simplicidad de las leyes del llamado modelo estándar de la física de partículas, serán el eje del relato. Estas leyes son asombrosamente simples debido a que componen la explicación última de la gran mayoría de los fenómenos ordinarios del mundo. Describen al universo desde que éste tenía un milisegundo hasta el presente. También describen casi toda la materia conocida –exceptuando la llamada materia oscura–, como resultado de una ardua exploración experimental sobre la que se ha escrito largamente.

Simetría

El concepto de simetría en la física es exactamente el mismo que usamos en nuestro lenguaje cotidiano: aquella transformación que mantiene inalterado al objeto sometido a ella. Por ejemplo, un cuadrado se puede rotar 90 grados y queda igual. Con un rectángulo, eso no sucede (ver Figura 1). El rectángulo puede ser rotado 180 grados para que no cambie. Dos figuras diferentes pueden tener las mismas simetrías; por ejemplo, rotar 180 grados un cuadrado y un rectángulo.

Puede ocurrir que primero conozcamos las simetrías de un objeto pero no de qué objeto se trata y, a pesar de esto, muchas veces eso es suficiente para hacer predicciones sobre él. Podemos, por ejemplo, tener un objeto que es simétrico bajo rotaciones, con las mismas simetrías que un círculo; entonces podremos predecir que este objeto rodaría uniformemente sobre una mesa. Un cilindro hueco y otro sólido rodarían de ese modo, y no necesitamos saber de qué están hechos los cilindros para predecir ese comportamiento. Por el contrario, si tuviéramos un objeto sin ninguna simetría, como una roca irregular, sabemos que no rodaría de manera uniforme.

Las simetrías que se necesitan en la física son una generalización de estas simetrías cotidianas, pero comprenderlas supone, nada menos, la posibilidad de determinar todas las fuerzas de la naturaleza: el electromagnetismo, la fuerza nuclear débil y la fuerte, y la gravedad.

Electricidad y magnetismo

La teoría del electromagnetismo postula la existencia de campos vectoriales eléctricos y magnéticos. Metafóricamente podemos pensarlos como pequeñas flechas orientadas en cada punto del espacio-tiempo. Sentimos su presencia a través de sus efectos sobre las partículas cargadas. Los campos eléctricos actúan sobre las partículas cargadas empujándolas a lo largo de la dirección del campo. Los campos magnéticos sólo actúan sobre las partículas que se mueven. En presencia de un campo magnético, una carga que se mueve siente una fuerza que actúa en forma perpendicular a la dirección del movimiento. Si uno fuera una partícula cargada moviéndose hacia adelante en un campo magnético vertical, entonces sentiría una fuerza que lo empuja para el costado. Si no hubiera otras fuerzas, terminaría moviéndose en una trayectoria circular (Figura 2). En resumen, las partículas cargadas se mueven en círculo alrededor de los campos magnéticos.

Figura 2

Estos campos eléctricos y magnéticos tienen su propia dinámica: las oscilaciones coordinadas de campos eléctricos y magnéticos son las ondas electromagnéticas, que pueden propagarse en el vacío. ¿Las más familiares? Las ondas de radio, las microondas, la luz, los rayos X o los rayos gamma. Existen, entonces, campos eléctricos y magnéticos en el espacio vacío, que actúan sobre las partículas cargadas y afectan su movimiento; sabemos que los campos eléctricos las empujan a lo largo de la dirección del campo eléctrico y que las partículas cargadas se mueven en círculos alrededor de los campos magnéticos. Desde otro punto de vista, particularmente útil para generalizarlo a las otras fuerzas de la Naturaleza, podemos pensar el electromagnetismo como una teoría de medida. Es un punto de vista útil también para describir la versión cuántica.

La simetría de medida: una analogía económica

Para entender mejor los detalles de una simetría de medida nos convendrá apoyarnos en una analogía formal desarrollada para vincular el mercado de intercambio de monedas extranjeras de la economía con las llamadas teorías de medidas sobre redes de la física. En esta analogía económica haremos algunas simplificaciones, idealizaciones y también extensiones con el objetivo físico en mente. Advierto que nuestro objetivo no es explicar la economía del mundo real, sino explicar el mundo físico real. La buena noticia es que el modelo físico es mucho más sencillo que la economía real. ¡Por eso la física es más sencilla que la economía!

Desarrollemos entonces la analogía económica. Imaginemos que tenemos muchos países. Cada país tiene su propia moneda. Imaginemos que estos países están ordenados en una red regular en un mundo plano (Figura 3). Cada país está conectado con sus vecinos por un puente.

Primera regla. En cada puente hay un banco. En estos bancos hay que cambiar el dinero que uno lleva a la moneda del país al cual cruza. Los bancos son independientes en cada puente; es decir, no hay ninguna autoridad central que coordine los tipos de cambio entre los países. Cada banco es autónomo y fija el tipo de cambio en forma arbitraria. Los bancos no cobran comisión por cambiar el dinero. Por ejemplo, supongamos que la moneda del país de partida es el dólar y que la del país de llegada es el euro. Supongamos que el tipo de cambio del banco que está entre esos dos países es de 1,5 dólares = 1 euro (Figura 3). Entonces si uno tiene 15 dólares, el banco lo convierte en 10 euros cuando cruza la frontera. Si uno decide volver, entonces los 10 euros serán convertidos en 15 dólares. Por lo tanto, si uno viaja al país vecino y vuelve a su país original, tendrá la misma cantidad de dinero que tenía al principio. No gana ni pierde.

Segunda regla. Sólo se puede ir de un país al país vecino. De allí, es posible continuar a cualquiera de los nuevos países vecinos. Lo que no se puede hacer es tomar un avión y aterrizar en un país no contiguo. Sólo está permitido trasladarse cruzando los distintos puentes y cambiando el dinero a las monedas correspondientes de cada uno de los dos países separados por un puente.

Tercera y última regla. Lo único que se puede llevar de un país a otro es dinero. No se puede llevar oro, ni plata, ni ningún otro valor. Más tarde lo permitiremos, pero por ahora analicemos esta situación más simple.

Repasemos las reglas nuevamente. Tenemos países organizados en una grilla. Cada país tiene su propia moneda. Hay puentes que conectan a cada país con sus vecinos. Y un banco en cada puente que cambia las monedas. Los bancos eligen los tipos de cambio que quieren y no cobran comisión. Lo único que se puede hacer es viajar entre los distintos países llevando dinero y cambiándolo cada vez que se cruza una frontera.

¿Hay alguna simetría en este modelo económico? Sí, hay simetría de medida. Imaginemos que uno de los países ha acumulado muchos ceros en su moneda y quiere eliminarlos. Esto es muy común en algunos países con inflación alta donde, un día, el gobierno local decide cambiar las unidades de la moneda. Por ejemplo, en lugar de usar pesos, pasa a usar australes. El gobierno decreta que mil pesos equivaldrán a un austral (1000 pesos = 1 austral). De este modo cambian los precios y los tipos de cambio en acuerdo con esa equivalencia. Si antes había que pagar 5000 pesos por una banana, ahora habrá que pagar 5 australes. Si un salario era de un millón de pesos, ahora será de mil australes. Supongamos que el país vecino es Estados Unidos. Si el tipo de cambio era 3000 pesos = 1 dólar, entonces ahora será 3 australes = 1 dólar (Figura 4). Llamamos a esto una simetría porque, luego de esta transformación, nada cambia realmente. Nadie será más rico o más pobre. Este cambio no ofrece ninguna oportunidad económica.

La Figura 5 muestra este tipo de simetría de medida en acción en un billete de la Argentina. Se llama simetría de medida porque es una simetría de las unidades que usamos para medir el valor de distintos productos. Esta simetría es local, ya que cada país puede decidir implementarla internamente de manera independiente de lo que hagan los países vecinos. Algunos países necesitarán hacerlo más que otros en diferentes momentos. La Argentina ha eliminado trece ceros de su moneda mediante varias transformaciones de medida desde la década de 1960. Así, un peso de hoy equivale a 10.000.000.000.000 pesos de 1960 (10 billones de pesos).

¿Y los especuladores? Un especulador es alguien que viaja entre los distintos países cambiando monedas. Su objetivo es ganar dinero. Viajando a lo largo del recorrido que le haga ganar más dinero. Hay que recordar que, con nuestras reglas, el especulador no puede gestionar transacciones sentado cómodamente frente a una computadora. Está obligado a viajar realmente entre los distintos países.

¿Es posible que un especulador gane dinero en un mundo con estas reglas cambiarias? A primera vista, parecería que no. Si uno se traslada al país vecino y luego regresa al original, termina con la misma cantidad de dinero. Sin embargo, es posible ganar dinero, ¡si vuelve por otro camino! Pensémoslo.

Imaginemos tres países: Estados Unidos, Alemania y Argentina, con sus respectivas monedas: dólares, euros y pesos. Ahora imaginemos que estos países se conectan por medio de puentes (Figura 6). Los tipos de cambio son los siguientes:

1,5 dólares = 1 euro, 1 dólar = 10 pesos, 1 euro = 10 pesos

Dados estos valores, ¿se puede ganar dinero recorriendo estos países? Pensemos antes de seguir leyendo. ¡Vale la pena el esfuerzo!

Empezamos en la Argentina con 10 pesos. Vamos a Alemania y los cambiamos por 1 euro. Vamos a los Estados Unidos y lo cambiamos por 1,5 dólares. Luego volvemos a la Argentina y los cambiamos por 15 pesos. Empezamos con 10 y ¡terminamos con 15 pesos! La ganancia en este circuito es de un factor de 1.5, o una ganancia del 50%. Si empezamos el circuito con X pesos, terminaremos con 1,5 X al final. Este factor es independiente de la unidad de la moneda. Si el gobierno de la Argentina cambia la moneda de pesos a australes, la ganancia en el circuito se mantiene: el factor sigue siendo 1.5.

Podríamos creer que los bancos son incompetentes al fijar un tipo de cambio equivocado y que los especuladores se aprovechan de ello. Efectivamente, esto es así de acuerdo con las reglas que establecimos inicialmente. Los bancos fijan el tipo de cambio que quieren y, dependiendo de las decisiones que tomen, habrá oportunidades para especular o no. Los especuladores tienen una mentalidad muy simple: sólo se preocupan por ganar dinero y, en consecuencia, circularán por los caminos que les generen mayor rédito. Por ejemplo, en la situación anterior, los especuladores se moverán en un camino cerrado: de la Argentina a Alemania, de ahí a EE UU y de vuelta a la Argentina. Seguirán la línea roja de la Figura 6.

Ahora bien, siguiendo esta analogía, debemos asumir la relación economía-física de esta manera:

• Los países equivalen a puntos o pequeñas regiones en el espacio físico.
• Los tipos de cambio son una configuración de los potenciales magnéticos a través del espacio.
• El monto de la ganancia es el campo magnético, en una situación como la de la Figura 6, donde hay oportunidad de ganar dinero.
• Los especuladores son los electrones o partículas cargadas.

De acuerdo con estas leyes “econofísicas”, encontramos algunas propiedades. Por un lado, en presencia de campos magnéticos, los electrones simplemente se mueven en círculos para poder ganar dinero. Por otro, el monto total de ganancia alrededor del circuito equivale al flujo del campo magnético a través del área comprendida dentro del círculo.

Imaginemos que un especulador tiene deuda en lugar de dinero. En ese caso, podría recorrer el circuito en dirección opuesta. Sus deudas se reducirían en la misma proporción de la ganancia. En el ejemplo de la Figura 6 se reducirían en un factor de 1 = 1:5 por circular en dirección opuesta a la flecha roja. En física, la antipartícula del electrón es el positrón, que es como el electrón pero con carga opuesta. Y efectivamente, en un campo magnético los positrones circulan en dirección opuesta a los electrones.

Si dos países vecinos son –físicamente– dos puntos del espacio geométrico, el intercambio de moneda entre ambos sucede a distancias muy pero muy pequeñas, mucho más pequeñas que las que hoy podemos medir en los laboratorios. Cuando observamos cualquier sistema físico, incluso el espacio vacío, vemos todos estos países desde muy lejos, de modo que se perciben como en una trama continua (Figura 7). En la descripción más microscópica, cuando un electrón se mueve en el vacío, se está moviendo continuamente de un punto al siguiente en el espacio-tiempo, o sea, se mueve constantemente entre los países, cambiando la moneda y haciéndose más rico en el proceso. En física no sabemos aún si hay tal estructura discreta como la de nuestros países hipotéticos. Sin embargo, cuando hacemos cálculos, dentro de la rama de la física llamada Teoría de campos de medida, frecuentemente hacemos la suposición de una estructura discreta como ésta y luego nos alejamos para mirar de lejos o, técnicamente hablando, tomamos el límite continuo cuando todos los países están muy cerca entre sí.

Figura 7

El electromagnetismo está basado en una simetría de medida similar a la de nuestro mundo económico hipotético. De hecho, en cada punto del espacio-tiempo, la simetría implicada corresponde a la simetría de rotación de un círculo. ¿Por qué? Una forma de ilustrar esto es imaginarse que en cada punto del espacio-tiempo tenemos, además de las dos dimensiones del plano, una dimensión extra en forma de círculo muy pequeño (Figura 8). El país, que está localizado en cada punto del espacio-tiempo, elige –de manera independiente– su convención para medir ángulos en este círculo extra. Más precisamente, cada país elige un punto del círculo o ángulo cero y luego describe la posición de cualquier otro punto en términos del ángulo relativo a éste. En la analogía, es como elegir la moneda. Ahora bien, en física no sabemos experimentalmente si ese círculo es real. Es decir, no sabemos si hay una dimensión extra. Todo lo que sabemos es que la simetría es similar a la simetría que tendríamos si efectivamente hubiera una dimensión extra.

Figura 8

En física evitamos hacer suposiciones innecesarias. Una dimensión extra no es una suposición necesaria, únicamente la simetría lo es. Además, las únicas cantidades relevantes son los potenciales magnéticos que nos indican cómo la posición de la partícula cambia en el círculo extra cuando viajamos de un punto al punto vecino en el espacio-tiempo.

En el electromagnetismo, los campos eléctricos y magnéticos se rigen por las llamadas Ecuaciones de Maxwell, que en la analogía económica aparecen cuando fijamos un requisito en los tipos de cambio. Imaginemos que tenemos una configuración con tipos de cambio arbitrarios. Los especuladores empiezan a mover dinero entre los países. Prestemos atención a un puente en particular, donde un determinado banco tiene su sede. Allí habrá especuladores cruzando el puente en ambas direcciones. Sin embargo, si hay más especuladores yendo en una dirección que en la otra, el banco podría quedarse sin alguna de las monedas. Consideremos, por ejemplo, el banco que está en el puente que cambia pesos con dólares. Si hay más especuladores queriendo comprar dólares que especuladores queriendo comprar pesos, el banco se quedará sin dólares. Si esto ocurriera en el mundo real, el banco ajustaría el tipo de cambio para que hubiera menos especuladores queriendo comprar dólares. De hecho, si suponemos que el número de especuladores siguiendo un circuito particular es proporcional a la ganancia que obtendrían en ese circuito, entonces encontramos que la condición para que los bancos no se queden sin moneda, o que el flujo de moneda a través de cada puente sea cero, se condice con las Ecuaciones de Maxwell.

La fuerza débil

Ahora enfoquémonos en la llamada fuerza débil. Es la fuerza responsable de los decaimientos radioactivos. Por ejemplo, un neutrón libre (fuera del núcleo) decae a un protón, a un electrón y a un neutrino, en aproximadamente quince minutos. Esto es un decaimiento muy lento comparado con otros procesos que transcurren en escalas de tiempo microscópicas. La fuerza débil no es demasiado relevante en nuestra vida diaria. Sin embargo, a pesar de su debilidad, juega un papel importante en la historia del Universo. Principalmente, en la síntesis de los elementos químicos en las estrellas. De hecho, todos los elementos químicos a nuestro alrededor, con excepción del hidrógeno y el helio, fueron “cocinados" en las estrellas. La fuerza débil juega un papel crucial en este proceso. Más cerca de casa, podríamos decir que la fuerza débil puede mover montañas. De hecho, los decaimientos débiles al interior del planeta son parcialmente responsables de mantener caliente a la Tierra que, en consecuencia, mueve los continentes creando montañas.

Los físicos también entendemos a la fuerza débil por medio de la teoría de medida. Pero, en este caso, en cada punto del espacio tenemos las simetrías de una esfera: llamémosla esfera débil (Figura 8). No sabemos si la esfera es real o no. Lo que sí sabemos es que cuando vamos de un punto a otro en el espacio, en la metáfora económica, debemos especificar tres tipos de cambio. Necesitamos tres cantidades ya que tenemos que especificar dos para un eje de rotación y una para el ángulo de rotación alrededor del eje. De tal manera que, en lugar de un sólo campo magnético, ahora tenemos tres tipos diferentes de campos magnéticos. Aparecen ecuaciones similares a las del electromagnetismo que rigen el comportamiento de estos campos magnéticos junto a los campos eléctricos correspondientes. Estas ecuaciones fueron propuestas originalmente por los físicos Chen Ning Yang y Robert Mills en 1954. Cuando el renombrado físico austríaco Wolfgang Pauli las conoció, se opuso enfáticamente a ellas, afirmando que esta teoría –conocida luego como de Yang-Mills– implicaba necesariamente que debían existir nuevas partículas sin masa no observadas en la naturaleza. En términos de la dualidad Bella/Bestia: una teoría bella destruida por un hecho horrible.

¿Por qué partículas sin masa?

Para poder entender la objeción de Pauli, debemos enfocarnos primero en las propiedades de las ondas. Por ejemplo, uno de sus parámetros fundamentales es la longitud de onda. La longitud de una onda es la distancia entre dos máximos sucesivos de la onda. En los sistemas físicos, a menudo, estamos interesados en saber cuánta energía nos demanda excitar ondas de distinta longitud de onda. Para una onda con una determinada amplitud, este costo energético depende de la longitud de onda. Para una onda electromagnética, el costo de energía decrece cuando hacemos la onda más y más larga. Resulta así que la masa de la partícula mediadora está relacionada al costo de energía necesario para excitar una onda con longitud de onda muy larga. Esto está relacionado con la famosa fórmula E = mc².

Para entender la ausencia de masa, volvamos a nuestra analogía económica, en la que aún no hemos hablado de energía. Digamos simplemente que la energía aumenta al aumentar la ganancia de los especuladores. Intuitivamente, esto tiene sentido, ya que cuanto más ganen los especuladores, ¡más difícil se les hace la gestión a los bancos! En consecuencia, las configuraciones con menos ganancia tienen un costo de energía menor. En la Figura 9 describimos una secuencia de tipos de cambio con una configuración de longitud de onda larga y otra corta. El punto crucial es que la ganancia que los especuladores obtienen, al seguir los circuitos cuadrados elementales (marcados en la figura con una flecha azul), está relacionada únicamente con la diferencia entre tipos de cambios de los países vecinos, pero no con su magnitud absoluta. Por lo tanto, cuanto más larga sea la longitud de onda, menor es la diferencia. El hecho de que la ganancia se haga muy pequeña al aumentar la longitud de onda implica que la partícula asociada, el fotón electrodébil, no tiene masa. Este argumento es correcto para el electromagnetismo y también lo es para la fuerza débil por la misma razón básica. Por lo menos, es verdad para la versión de la fuerza débil descripta hasta ahora.

El mecanismo de Higgs

Podemos encontrar, sin embargo, un mecanismo para evitar las consecuencias del argumento anterior. Es el llamado mecanismo de Higgs, propuesto por varios investigadores, entre quienes se destaca el británico Peter Higgs. Aquí lo explicaremos utilizando la analogía económica.

Hasta aquí hemos supuesto que sólo podemos trasladar dinero entre los países. Pero ahora permitamos también la circulación de oro. De modo que la nueva regla es que se permite llevar oro y/o dinero entre los distintos países. El oro tiene un precio distinto en cada país, fijado por cada uno independientemente de los otros. Un especulador hábil verá que se le abre una oportunidad. Puede comprar oro en un país, llevarlo al siguiente, venderlo y traer el dinero de vuelta al primer país. Por ejemplo, si el tipo de cambio entre pesos y dólares es 4 pesos = 1 dólar, y el precio del oro en la Argentina es de 40 pesos por onza y el precio en EE UU es de 5 dólares por onza, ¿qué haría? Recordemos que los precios y los tipos de cambio son:

4 pesos = 1 dólar, 1 onza = 40 pesos, 1 onza = 5 dólares.

Pensemos, sin continuar leyendo hasta que tengamos la respuesta. ¡Es un poco difícil pero vale la pena el esfuerzo! ¿Ya está? Sí, efectivamente empezaríamos con cinco dólares en EE UU, compraríamos oro allí, iríamos a la Argentina, lo venderíamos por 40 pesos, volveríamos a EE UU y obtendríamos 10 dólares al cruzar el puente de regreso. Esta operación tiene una ganancia con factor 2 o una ganancia del 100%. Veamos la Figura 10.

Continuamos teniendo la simetría de medida. Si el gobierno argentino cambia la moneda a australes, la ganancia continuaría siendo la misma. Ahora bien, podemos usar la simetría de medida para elegir las monedas de tal forma que el precio del oro sea el mismo en todos los países. Llamaremos a las nuevas monedas: nuevos pesos y nuevos dólares. Ahora el precio del oro es 1 nuevo peso por onza y 1 nuevo dólar por onza. Sin embargo, el tipo de cambio podría no ser uno a uno. De hecho, no puede ser uno a uno si originalmente existía una oportunidad para especular. Por ejemplo, en la Figura 10, el nuevo tipo de cambio es 1 nuevo peso = 2 nuevos dólares. Nótese que esto no es el patrón oro que elimina todos los tipos de cambio. Es muy importante que los tipos de cambios permanezcan presentes.

En resumen, ahora los nuevos precios y los tipos de cambio son:

1 nuevo peso = 2 nuevos dólares, 1 onza = 1 nuevo peso, 1 onza = 1 nuevo dólar

Si uno es un especulador, ahora la tarea es más fácil, ¿verdad? Con estas nuevas unidades de moneda obtenidas y fijando el precio del oro en uno, inmediatamente podemos ver que si el tipo de cambio no es uno a uno, entonces hay oportunidad para especular ejecutando el circuito del oro. Y la ganancia sigue siendo de un factor 2 o 100% de ganancia. Asimismo, la ganancia neta no cambia cuando cambiamos la unidad de moneda.

Ahora, una característica esencial de este nuevo modelo económico es que la ganancia no disminuye al aumentar la longitud de onda. La razón es que ahora uno calcula si puede ganar dinero sencillamente en un solo puente, porque ya no necesita comparar con los puentes vecinos. Una vez fijado en todas partes el precio del oro en uno, cualquier tipo de cambio diferente al uno a uno brinda una oportunidad para especular. En términos físicos, esto significa que ahora se necesita energía para mover cualquier tipo de cambio fuera del uno a uno. Este costo está presente incluso para configuraciones con gran longitud de onda. En la física, esto significa el origen de una partícula masiva o de un fotón masivo. Notablemente, un mecanismo de este tipo ocurre dentro de los materiales superconductores, que fueron, de hecho, la inspiración para el mecanismo de Higgs.

Los físicos pensamos que un mecanismo similar es el que crea la masa de las partículas mediadoras de la fuerza débil. En lugar de oro, ahora tenemos un objeto en cada país o punto en el espacio-tiempo que tiene alguna orientación en la esfera débil. A esto se denomina campo de Higgs. Podemos usar este objeto para fijar completamente la orientación de cada esfera débil. Ahora el objeto está orientado de la misma manera en todas partes. Esto es análogo a fijar el precio del oro a uno. Aún tenemos los “tipos de cambio" débiles que nos dicen cómo rotamos en la esfera débil cuando vamos de un país al siguiente. Esta configuración de ganancia cero se da cuando no rotamos para nada. En tal caso, podemos decir que los tipos de cambio débiles son “uno a uno". Si rotáramos de cualquier forma, habría posibilidad de especular. En consecuencia, las mediadoras de la fuerza débil tienen masa. De esta manera, el héroe de esta historia, el campo de Higgs, ha rescatado a la Bella. Podemos explicar la fuerza débil utilizando la simetría de medida y, al mismo tiempo, evitar las partículas sin masa.

La mecánica cuántica

El sistema que describimos hasta ahora, usando la analogía económica, da origen a lo que normalmente se denomina una teoría clásica de campos. Un campo es una cantidad que está definida en cada punto del espacio-tiempo. Por ejemplo, el precio del oro está definido en cada país, que representa un punto del espacio-tiempo. De modo similar, los tipos de cambio también son campos. En cada punto del espacio tenemos un tipo de cambio por cada dimensión del espacio-tiempo, ya que cada país tiene un número de vecinos que es proporcional a la dimensión del espacio-tiempo.

En la física, esto no termina aquí. La dinámica de estos campos se rige por las leyes de la mecánica cuántica. Un aspecto importante de estas leyes es que son probabilísticas. Uno pensaría que, en el vacío, todos estos campos serían cero. Sin embargo, esto no es cierto. Adquieren valores aleatorios. Todo lo que podemos decir es que se rigen por una distribución de probabilidad. En la analogía económica, los tipos de cambio y el precio del oro son todos aleatorios. Este azar se rige por leyes muy precisas, que nos dan la forma precisa de las distribuciones de probabilidad. No daremos la fórmula aquí. Simplemente diremos que es menos probable encontrar configuraciones de los precios del oro y de los tipos de cambio con grandes posibilidades para especular. ¡A la naturaleza no le gusta la especulación! Tenemos una ley precisa para las probabilidades, pero no podemos predecir con certeza qué configuración vamos a encontrar cuando realmente miramos el sistema.

Todo este azar ocurre a escalas muy pequeñas. Si seguimos un circuito muy grande que pasa por muchos países, todas estas fluctuaciones se promedian y obtenemos el resultado clásico donde los campos son iguales a cero en el vacío. O son distintos de cero cuando tenemos ondas clásicas.

El costo de probabilidad que tenemos que pagar cuando consideramos tipos de cambio que llevan a grandes oportunidades de especular también está relacionado con el costo energético que mencionamos hace un rato. Ambos son esencialmente lo mismo. Configuraciones con más energía son menos probables. En la naturaleza, las partículas que transmiten la fuerza débil son muy masivas: los bosones Z y W. Pesan unas cien veces más que el protón. Esto es mucho para una partícula elemental. Su gran masa explica la debilidad de la fuerza débil. E implica que es muy poco probable producir fluctuaciones en los “tipos de cambio débiles". Por lo tanto, una partícula que interactúa sólo con la fuerza débil, como el neutrino, es muy difícil de observar. De hecho, un porcentaje de la energía del sol sale en neutrinos. Sin embargo, no los notamos. Simplemente pasan a través de nosotros día y noche, y no los vemos. Hacen falta grandes detectores con aparatos electrónicos muy sensibles para detectar una fracción muy pequeña de ellos.

El límite continuo y el bosón de Higgs

El mecanismo que hemos descripto le otorga una masa a las partículas que transmiten la fuerza débil, pero no explica por qué tiene que existir una nueva partícula, como el bosón de Higgs. Expliquemos esto por medio de la analogía económica. Podemos fijar el precio del oro a uno en todos lados, luego de elegir una unidad de moneda apropiada en cada país. Una vez hecho esto, las únicas variables que sobreviven son los tipos de cambio. En la física esto da origen a una partícula masiva (con espín uno), pero a ninguna otra partícula. En la física clásica, esta teoría es perfectamente consistente sin ninguna partícula extra. Pero es distinto en el caso cuántico, especialmente para el caso de la fuerza débil.

La versión cuántica del límite continuo, indicado gráficamente en la Figura 7, es muy sutil. Un análisis detallado muestra que una teoría sin campos adicionales no permitiría que las partículas que median las fuerzas débiles tuvieran una masa que permanezca fija al tomar el límite en que las distancias entre los países se hace infinitesimalmente pequeña. Sus masas se harían infinitas en el límite continuo del caso cuántico. Por esta razón, todos esperábamos que el Gran Colisionador de Hadrones (del inglés Large Hadron Collider, LHC) descubriera nuevas partículas. La posibilidad más simple es decir que tenemos una partícula adicional.

En la analogía económica, estas nuevas partículas surgen cuando tenemos más productos que podemos llevar de un país al otro. Podemos, por ejemplo, trasladar oro y plata. La plata también tiene un precio que fija cada país. En cada uno de ellos, el precio relativo entre el oro y la plata es independiente de las unidades monetarias. En otras palabras, el cociente de estos precios es independiente de la moneda. Decimos que es invariante ante la simetría de medida. Por ejemplo, si una onza de oro cuesta 2000 pesos y una de plata cuesta 1000 pesos, decimos que el oro cuesta dos veces más que la plata. Si el gobierno decide cambiar de pesos a australes, ahora el oro costaría 2 australes y la plata 1 austral. Pero el oro sigue valiendo dos veces más que la plata. Es decir, esos valores definidos en cada país son independientes de la unidad monetaria. En la física, esto da origen a una nueva partícula material. Cuando sólo teníamos oro, también teníamos una cantidad definida en cada país, que era el precio del oro. Sin embargo, esta cantidad dependía de las unidades monetarias. Conociendo sólo esta cantidad, no podíamos saber si teníamos oportunidades de especular. Si tenemos oro y plata, y el oro en un país cuesta dos veces más que la plata y en otro cuesta tres veces más, entonces, inmediatamente sabemos que esa oportunidad existe. De hecho, eligiendo adecuadamente las unidades monetarias, podemos poner el precio del oro igual a uno en todos lados. Está claro, entonces, que no corresponde a un campo físico. Pero si hay oro y plata, podemos fijar el precio del oro a uno, pero no el de la plata al mismo tiempo. Por lo tanto, ahí sí tenemos un campo físico.

Un campo adicional es la posibilidad más sencilla. De hecho, una nueva partícula fue descubierta en el LHC en el año 2012.

(Si bien no relataré aquí la historia de estos conceptos, no puedo resistirme a agregar un par de comentarios. Yang y Mills inventaron su teoría basada en la simetría de medida de una esfera para describir las partículas llamadas mesones. Sin embargo, ahora la usamos para describir las interacciones débiles. Este es un ejemplo de una buena idea que no fue útil para su propósito original pero sí lo fue para resolver un problema diferente. A pesar de que la objeción de Pauli era correcta, la falla no era fatal. Se podía arreglar de un modo relativamente simple. La matemática de las teorías de medida fue descubierta previamente por matemáticos. Inspirados por muchos experimentos y resultados parciales, la teoría de las interacciones electrodébiles fue escrita por primera vez por el estadounidense Steven Weinberg, con la colaboración de Sheldon Lee Glashow y Abdus Salam. Experimentos posteriores la confirmaron, descartando otras especulaciones. El experimento actual más importante es este sentido es el del Large Hadron Collider en Europa.)

Veamos cuán notable es la simplicidad de la física en comparación con la economía. La analogía económica lo muestra claramente. En la economía real uno puede comerciar con muchas cosas, no sólo oro y plata, y se puede comerciar entre todos los países al mismo tiempo. En la física, sólo podemos hacerlo con los vecinos. Es importante notar que el artículo de Weinberg sólo tiene tres páginas, y el de Higgs, apenas dos, mientras que aquí nos llevó muchas páginas dar una explicación bastante imprecisa. Este es un ejemplo del poder de las fórmulas. Muchas veces se dice que un dibujo vale mil palabras. ¡Una fórmula vale un millón de dibujos!

Uno de los detectores del LHC se llama Atlas. En la Figura 11 vemos al Atlas mitológico que sostiene las esferas celestes. Al ver esta figura, uno podría pensar: “Estos griegos, qué inocentes eran, pensando en todas esas esferas, ¡cuánto más simple es la descripción de Newton!” Sin embargo, la concepción moderna de la naturaleza tiene las simetrías de una esfera en cada punto del espacio. El número de las esferas ha crecido mucho, pero su estructura está gobernada por una simetría muy simple. La esfera débil es muy sencilla. Hoy el detector Atlas está investigándola y descubriendo sus secretos.

Figura 11

Masas para las otras partículas

Suele decirse que el campo de Higgs le da la masa a todas las otras partículas. En base a lo que dijimos hasta ahora, podríamos agregar masas para las otras partículas sin problema, con o sin el campo de Higgs. La verdadera razón por la que necesitamos el campo de Higgs para darles masas se debe a una propiedad extraña de las interacciones débiles. Para explicar esta rareza, necesitamos describir con más detalle las propiedades de las partículas elementales. Necesitamos tener en cuenta que el electrón puede tener una polarización o un espín. Primero describiremos esto y, luego, la propiedad extraña de la fuerza débil.

Sabemos que la luz puede estar polarizada y que tiene dos estados de polarización. Por ejemplo, los anteojos para sol polarizados están diseñados para bloquear la luz predominantemente polarizada producida por la reflexión del Sol. Para nuestros propósitos es útil pensar en términos de la llamada luz circularmente polarizada. En la Figura 12 vemos una onda electromagnética “zurda" y “diestra". Estas ondas llevan momento angular alrededor de la dirección de propagación, ya que el campo eléctrico de estas ondas rota alrededor de la dirección de propagación. En el modelo económico, el hecho de que la luz pueda estar polarizada está relacionada con el hecho de que los tipos de cambio conectan a un país con sus vecinos. Estos vecinos pueden estar en cualquiera de las direcciones transversales a la onda. En la Figura 12 tenemos una onda que va hacia la derecha y vemos que los tipos de cambio que varían son los que van hacia arriba, que es una dirección transversal a la onda.

Los electrones y los neutrinos comparten esta propiedad con la luz y también pueden estar polarizados. Pueden llevar momento angular, o una cantidad de rotación. Cuando una partícula está moviéndose, tenemos una dirección preferencial con respecto a la cual definir el momento angular. Esta dirección preferencial es la dirección de propagación. Por ejemplo, en el caso de la luz, este momento angular puede ser “zurdo" o “diestro". Si una partícula está en reposo, sin moverse, entonces no hay dirección preferencial alguna y el momento angular puede apuntar hacia cualquier lado. Todas las direcciones son equivalentes, ya que una rotación en el espacio las relaciona.

Algo especial ocurre con las partículas sin masa. Una partícula sin masa está siempre moviéndose. Si es “zurda", parecerá “zurda" para cualquier observador, incluso para aquellos que se mueven a lo largo de la dirección de movimiento. Esto no ocurre para una partícula masiva. Imaginen una partícula que se mueve en el espacio en dirección vertical, hacia arriba, con el momento angular en la dirección del movimiento. Ahora decidamos que también uno se mueve en la dirección vertical pero más rápido que la partícula. En ese caso, para uno, la partícula parece moverse hacia abajo, pero su polarización no cambia, su rotación no cambia. Para uno, entonces, el momento angular está en la dirección contraria a la del movimiento de la partícula. En otras palabras, yendo a otro sistema de referencia en movimiento hemos cambiado la dirección de la velocidad en relación con la dirección del momento angular. La conclusión es que para una partícula sin masa, la idea de si el momento angular apunta en la dirección de movimiento o en la dirección contraria, es una característica de la partícula, independiente del sistema de referencia. Recordemos que el principio de relatividad nos dice que las leyes de la física deben ser independientes de cómo nos movemos.

Luego de estos comentarios preliminares, podemos hablar de la propiedad extraña de las interacciones débiles: tratan en forma distinta a las partículas zurdas de las diestras. Las interacciones débiles sólo afectan a las partículas zurdas. Esta es una propiedad muy rara, sólo posible porque las interacciones débiles violan la simetría de reflexión. ¿Qué es la simetría de reflexión? Imaginemos que miramos al mundo a través de un espejo. ¿Sería ese mundo, el mundo reflejado, consistente con las leyes de la física? Por lo que vemos en nuestra vida ordinaria, pensaríamos que sí. Es difícil darse cuenta que uno está mirando al mundo a través de un espejo. Podría saber que uno está al revés si ve un texto escrito, pero esto ocurre porque todos usamos la misma convención para escribir. La pregunta es si las leyes fundamentales son las mismas o no. Una propiedad importante de las reflexiones en el espejo es que la reflexión de una partícula que rota parece hacerlo en la dirección contraria. Veamos la Figura 13. Si las interacciones débiles tratan en forma distinta a las partículas diestras y zurdas, entonces las interacciones débiles pueden distinguir entre el mundo real y su reflexión en el espejo. Hemos enfatizado que las leyes de la física se basan en nuevas e interesantes simetrías, pero aquí encontramos una candidata para simetría que las leyes de la naturaleza no tienen. Las leyes de la naturaleza tienen simetrías poco familiares, pero no tienen una tan familiar como la simetría ante reflexiones en un espejo.

Un electrón zurdo y uno diestro son básicamente la misma partícula, aunque moviéndose en forma distinta en la esfera débil. La fuerza débil transforma uno en el otro. El electrón diestro no siente la fuerza débil. No sabemos si existe un neutrino diestro, no ha sido detectado todavía, y por lo que sabemos ahora, no es necesario que exista. Esta distinción tan dramática entre partículas zurdas y diestras es posible sólo si se están moviendo a la velocidad de la luz, de tal manera que el hecho de si es diestra o zurda es una propiedad intrínseca de la partícula.

Sin embargo, el electrón es una partícula masiva. Esto es posible debido a su interacción con el campo de Higgs. Esta es una nueva interacción que debemos postular para obtener una teoría que esté de acuerdo con la realidad. A través de esta interacción, un electrón que se mueve a menor velocidad que la de la luz, puede ser visto como una partícula que tiene una crisis de identidad. Parte del tiempo es un electrón zurdo y parte del tiempo, uno diestro moviéndose en la dirección opuesta. En promedio se mueve a menor la velocidad que la de la luz. La interacción con el campo de Higgs transforma uno en otro (Figura 14).

Figura 14

Los quarks, que son las partículas dentro de los protones o neutrones, también adquieren su masa a través de este mecanismo. Hay otras partículas elementales similares a los electrones, neutrinos y quarks, pero más masivas. Son inestables y decaen rápidamente por medio de la interacción débil. Todas estas partículas adquieren su masa a través del campo de Higgs. Estas interacciones se postulan arbitrariamente para que la teoría esté de acuerdo con la realidad. No son consecuencia de ningún principio de simetría conocido. La magnitud de estas interacciones es un número que toma distintos valores para las distintas partículas. Estos valores están distribuidos sobre muchos órdenes de magnitud. Por ejemplo, el quark top (el más pesado) es trescientas mil veces más pesado que el electrón. Los neutrinos también adquieren su masa en forma similar, aunque los detalles son un poco más complicados y todavía no se han determinado experimentalmente en forma completa.

A pesar de que el campo de Higgs da origen a la masa de las partículas elementales, la mayoría de la masa de los objetos ordinarios no proviene del campo de Higgs. De hecho, la mayor parte de esta masa viene de la masa de los protones y los neutrones. Estos son objetos compuestos. Contienen quarks que se mueven muy rápidamente y la mayoría de su masa viene de la energía de este gran movimiento. (Recordemos que E = mc²). Una pequeña parte de su masa viene de la masa de los quarks. El campo de Higgs es importante para una propiedad macroscópica del mundo real. El campo de Higgs determina la masa del electrón, y esta masa determina el tamaño de los átomos. El tamaño de los átomos es inversamente proporcional a la masa del electrón. Si hiciéramos más liviano al electrón, el átomo se haría más grande. Cambiando la magnitud del campo de Higgs sería posible hacer todas las partículas elementales más livianas. Para una persona que trata de perder peso, no sería una buena idea tratar de cambiar la magnitud del campo de Higgs. Ignorando el hecho de que esto sería muy, pero muy difícil de hacer, no tendría el efecto deseado: el peso de la persona cambiaría muy poco, ¡pero su tamaño se haría mucho más grande!

Dado que el campo de Higgs hace todas estas buenas obras para nosotros, ¿por qué decimos que es feo, que es la Bestia? Una razón es que representa una nueva fuerza de la naturaleza que no está basada en una simetría de medida. Una razón más práctica es que la mayoría de los parámetros del modelo estándar de las partículas elementales está asociada a las interacciones con el campo de Higgs. Estos parámetros toman valores que difieren en varios órdenes de magnitud. En comparación, las magnitudes de las tres fuerzas de medida son bastante similares, al menos a altas energías. Finalmente, lo más extraño es el valor de la masa del bosón de Higgs, y en consecuencia, del resto de todas las masas. No está claro cuál es el origen de esta masa. Tampoco sabemos por qué es mucho más pequeña que la otra escala de masa de la naturaleza, que es la que determina la fuerza de la gravedad. Esto puede entenderse de la siguiente manera.

En el modelo económico, hemos dicho que recuperamos el límite del continuo diciendo que la distancia entre los países es mucho más pequeña que la distancia más pequeña que podemos medir. En un mundo sin gravedad, esta distancia podría ser infinitesimalmente pequeña. Pero en nuestro universo tenemos la gravedad. La teoría de la gravedad de Einstein dice que el espacio-tiempo es dinámico. También esperamos que respete las leyes de la mecánica cuántica. La mecánica cuántica dice que el espacio-tiempo mismo estaría fluctuando en forma aleatoria o azarosa. En el modelo económico, el espacio-tiempo es la grilla de países. Que la grilla fluctúe significa que los países pueden intercambiar vecinos, que nuevos países pueden aparecer o desaparecer y más. En la naturaleza, todo esto estaría ocurriendo a una distancia muy pequeña, determinada por la fuerza de la gravedad. Esta distancia resulta ser muy, pero muy pequeña, una distancia 1016 veces más pequeña que la distancia más pequeña que podemos ver con el microscopio más poderoso, que es el LHC. El problema con la masa de la partícula de Higgs es la incógnita de por qué los fenómenos de la interacción débil están ocurriendo a una distancia tanto más grande que esta distancia básica de la gravedad. No sabemos. Dicho en otras palabras, ¿por qué es la gravedad mucho más débil que la fuerza débil?

Hay muchas ideas para entender estas propiedades extrañas del modelo estándar. Muchas de estas ideas postulan la existencia de nuevas partículas. Quizás pronto sean descubiertas en el LHC. ¡Estamos esperando sus resultados con ansiedad!

En este artículo no hablamos de la fuerza fuerte. Esta es la fuerza que mantiene a los quarks dentro de los protones o neutrones y también está basada en una simetría de medida. Para responder la objeción de Pauli, esta fuerza utiliza otro mecanismo de la mecánica cuántica.

Para terminar, debemos mencionar que hay una evidencia importante acerca de que existe una nueva partícula. Esta evidencia viene de observaciones astronómicas que determinan indirectamente la cantidad de materia a través de la fuerza de la gravedad. Resulta que hay una mayor cantidad de materia que la que está compuesta por las partículas ordinarias que conocemos. Esta es la llamada “materia oscura". Una buena candidata para la materia oscura sería una nueva partícula que puede sentir la fuerza débil. A veces se llama “WIMP" (o debilucho en inglés). Es una buena candidata ya que su abundancia cosmológica, según la teoría del Big Bang, estaría en el rango adecuado para estar de acuerdo con las observaciones. También es una partícula predicha naturalmente por teorías que tratan de explicar los misterios del modelo estándar. Y es posible, también, que la materia oscura no tenga nada que ver con las interacciones débiles.

Esperamos que, una vez que entendamos mejor todo este rompecabezas, encontremos que el campo de Higgs, que ahora es un componente “feo", la Bestia del modelo estándar, se transforme en un apuesto príncipe, o al menos sea parte del apuesto príncipe, y podamos decir que vivieron felices para siempre, o, al menos, hasta que el universo decaiga.

Agradecimientos

Agradezco a N. Arkani Hamed, M. Echeverría, G. Farmelo y C. Morgavio por sus comentarios.

Autor: Juan Martín Maldacena - malda@ias.edu